Podobnost (geometrie)

Z Multimediaexpo.cz

Podobnost je geometrické zobrazení Euklidovského prostoru do sebe, které násobí všechny vzdálenosti stejným koeficientem, tzv. měřítkem podobnosti. Dva geometrické útvary v Euklidově prostoru jsou podobné, pokud oba mají přesně stejný tvar. Přesněji řečeno, jeden je shodný s útvarem, získaným jako výsledek rovnoměrného zmenšení či zvětšení druhého a jeho případné rotace, posunutí a zrcadlení. Nejjednodušším příkladem podobného zobrazení je stejnolehlost. Podobnost je speciálním případem afinity. Speciálním případem podobnosti, je-li koeficient podobnosti roven 1, je shodnost.

Poměr vzdálenosti dvou bodů daného geometrického útvaru a vzdálenosti odpovídajících dvou bodů jiného geometrického útvaru (referenčního) je u podobných útvarů shodný pro každou takovou dvojici bodů a nazývá se koeficient podobnosti. Podobnost zachovává velikost úhlů a poměr délek.

Obsah 1 Podobnost v rovině 1.1 Podobné trojúhelníky 1.2 Podobné mnohoúhelníky 2 Související články 3 Reference 4 Externí odkazy

Podobnost v rovině

Pro rovinné útvary z toho vyplývá, že odpovídající hrany podobných mnohoúhelníků jsou ve vzájemném poměru a odpovídající úhly si jsou rovny.

Například všechny kružnice, čtverce a rovnostranné trojúhelníky si jsou podobné. Naopak elipsy si podobné být nemusí, stejně tak jako hyperboly.

Zpravidla se za speciální případ podobnosti považuje i shodnost, tedy podobnost s koeficientem podobnosti \(k=1\). Všechny shodné tvary jsou tedy zároveň podobné (některé učebnice výslovně vydělují shodné trojúhelníky z definice podobných trojúhelníků, takže musí být rozdílné nejen tvary, ale i jejich velikosti, aby se daly považovat za podobné).^[1]

Podobné trojúhelníky

Trojúhelníky \(\triangle ABC\) a \(\triangle DEF\) jsou podobné (píšeme \(\triangle ABC\sim\triangle DEF \, \)), pokud vyhoví jedné z následujících vět:

1. Věta sss – Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek všech tří dvojic odpovídajících stran, jsou si podobné.
   • odpovídající strany mají délky ve stejném poměru, takže platí \( {AB \over DE} = {BC \over EF} = {AC \over DF} = k\) a trojúhelníky jsou si podobné.
2. Věta sus – Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících stran a shodují se v úhlu jimi sevřeném, jsou si podobné.
3. Věta uu – Každé dva trojúhelníky, které mají dva úhly stejné, jsou si podobné.
   • je-li úhel \( \angle BAC\) roven \(\angle EDF\) a \(\angle ABC\) je roven \(\angle DEF\), pak to znamená, že i \(\angle ACB\) je roven \(\angle DFE\) a trojúhelníky jsou si podobné.
4. Věta Ssu – Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících stran a shodují se v úhlu naproti větší straně, jsou si podobné.

Podobné trojúhelníky jsou tedy takové, které mají stejný tvar, ale jinou velikost (tvar trojúhelníku je definován jeho úhly). Je to možné říci i tak, že jeden trojúhelník je zvětšením (či zmenšením) druhého.

Podobné mnohoúhelníky

Tuto myšlenku je možné rozšířit na mnohoúhelníky s více stranami. U jakýchkoli dvou podobných mnohoúhelníků si jsou odpovídající strany přímo úměrné. Nicméně pouze úměrnost stran není dostatečná k zajištění podobnosti mnohoúhelníků kromě trojúhelníků, takže odpovídající úhly rovněž musí být shodné.

Související články

• Geometrické zobrazení
• Zobrazení (matematika)

Reference

1. ↑ Dvě kuželosečky jsou podobné právě tehdy, pokud mají stejnou číselnou výstřednost.

Externí odkazy

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu Podobnost (geometrie)

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii