Eulerova–Lagrangeova rovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Eulerova-Lagrangeova rovnice se také často nazývá Eulerova rovnice nebo Lagrangeova rovnice, protože na této rovnici pracovali Leonhard Euler a Joseph Louis Lagrange současně okolo roku 1755. V oboru variačního počtu se jedná o diferenciální rovnici umožňující nalezení extrému funkcionálu a obvykle bývá užívána při optimalizaci a v mechanice pro odvozování pohybových rovnic různých objektů.

Obsah

1 Popis problému optimalizace
- 1.1 Příklad: „Nejlevnější cesta“
2 Související články
3 Externí odkazy

Popis problému optimalizace

Je zadána tzv. Lagrangeova funkce (lagrangián) F tří proměnných, která má spojité první parciální derivace, do níž je dosazena funkce y(x),

\( F \left( x, y(x), y'(x) \right) \).

Aby funkce y(x) představovala extremálu následujícího funkcionálu J,

\( J = \int_a^b F(x, y(x), y'(x)) \, \mathrm{d}x \),

musí funkce y(x) být řešením následující obyčejné diferenciální rovnice zvané Eulerova-Lagrangeova rovnice.

\( \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial F}{\partial y'} = 0 \)

Příklad: „Nejlevnější cesta“

Úkolem je najít extrém následujícího funkcionálu J při splnění uvedených vazebních (okrajových) podmínek.

\( J = \int_0^1 \left[ y'(x)^2 + 12 x y(x) \right] \, \mathrm{d}x \)

\( y(0) = 0 \)

\( y(1) = 1 \)

V podstatě hledáme takovou trajektorii (množinu bodů \([x;y(x)]\)) z bodu [0;0] do bodu [1;1], aby daný určitý integrál, který závisí na této křivce, byl minimální.
Lze si také představit, že funkce \(F(x,y,y') = y'^2+12xy\) představuje „penalizaci“ v závislosti na poloze a směru, přičemž úkolem je dostat se do cíle „co nejlevněji“.

Dosazením funkce F do Eulerovy-Lagrangeovy rovnice odvodíme následující obyčejnou diferenciální rovnici (lineární nehomogenní 2. řádu).

\( 12x - 2y = 0 \)

Získanou rovnici můžeme snadno vyřešit dvojnásobnou integrací:

\( y = 6x \),

\( y' = 3x^2 + c_1 \),

\( y = x^3 + c_1 x + c_2 \).

Hodnotu integračních konstant c₁ a c₂ vypočteme z okrajových podmínek \( y(0) = 0 \) a \( y(1) = 1 \) a získáme tak hledanou funkci \( y(x) \).

\( c_1 = 0 \)

\( c_2 = 0 \)

\( y(x) = x^3 \)

Související články

Lagrangeovská formulace mechaniky

Externí odkazy

Významní matematikové v historii (3), Euler + Lagrange: https://web.archive.org/web/20070607010012/http://natura.eri.cz/natura/2002/4/20020405.html
Variační počet: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~prazak/vyuka/MAF042/kap19.pdf
Prezident, prázdný talíř, Lagrangeovy rovnice a tak vůbec: http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~dolejsi/talir.pdf
Vačkový mechanismus: https://web.archive.org/web/20090619023651/http://www.spszr.cz/~blazicek/Projekt/vack_mech/vacky.htm

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 4: / Řádka 4: @@
 Je zadána tzv. Lagrangeova funkce ([[lagrangián]]) ''F'' tří proměnných, která má spojité první [[parciální derivace]], do níž je dosazena funkce ''y(x)'',
-:<big>\( F \left( x, y(x), y'(x) \right) </math>.
+:<big>\( F \left( x, y(x), y'(x) \right) \)</big>.
 Aby funkce ''y(x)'' představovala [[Extrém funkce|extremálu]] následujícího [[funkcionál]]u ''J'',
-:<big>\( J = \int_a^b F(x, y(x), y'(x)) \, \mathrm{d}x </math>,
+:<big>\( J = \int_a^b F(x, y(x), y'(x)) \, \mathrm{d}x \)</big>,
 musí funkce ''y(x)'' být řešením následující [[obyčejné diferenciální rovnice]] zvané ''Eulerova-Lagrangeova rovnice''.
-:<big>\( \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial F}{\partial y'} = 0 </math>
+:<big>\( \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial F}{\partial y'} = 0 \)</big>
 === Příklad: „Nejlevnější cesta“ ===
 Úkolem je najít extrém následujícího funkcionálu ''J'' při splnění uvedených vazebních ([[Okrajové podmínky|okrajových]]) podmínek.
-:<big>\( J = \int_0^1 \left[ y'(x)^2 + 12 x y(x) \right] \, \mathrm{d}x </math>
+:<big>\( J = \int_0^1 \left[ y'(x)^2 + 12 x y(x) \right] \, \mathrm{d}x \)</big>
-:<big>\( y(0) = 0 </math>
+:<big>\( y(0) = 0 \)</big>
-:<big>\( y(1) = 1 </math>
+:<big>\( y(1) = 1 \)</big>
-V podstatě hledáme takovou [[trajektorie|trajektorii]] (množinu bodů <big>\([x;y(x)]</math>) z bodu [0;0] do bodu [1;1], aby daný [[určitý integrál]], který závisí na této křivce, byl minimální.<br />Lze si také představit, že funkce <big>\(F(x,y,y') = y'^2+12xy</math> představuje „penalizaci“ v závislosti na poloze a směru, přičemž úkolem je dostat se do cíle „co nejlevněji“.
+V podstatě hledáme takovou [[trajektorie|trajektorii]] (množinu bodů <big>\([x;y(x)]\)</big>) z bodu [0;0] do bodu [1;1], aby daný [[určitý integrál]], který závisí na této křivce, byl minimální.<br />Lze si také představit, že funkce <big>\(F(x,y,y') = y'^2+12xy\)</big> představuje „penalizaci“ v závislosti na poloze a směru, přičemž úkolem je dostat se do cíle „co nejlevněji“.
 Dosazením funkce ''F'' do Eulerovy-Lagrangeovy rovnice odvodíme následující [[Obyčejné diferenciální rovnice|obyčejnou diferenciální rovnici]] (lineární nehomogenní 2. řádu).
-:<big>\( 12x - 2y'' = 0 </math>
+:<big>\( 12x - 2y'' = 0 \)</big>
 Získanou rovnici můžeme snadno vyřešit dvojnásobnou integrací:
-:<big>\( y'' = 6x </math>,
+:<big>\( y'' = 6x \)</big>,
-:<big>\( y' = 3x^2 + c_1 </math>,
+:<big>\( y' = 3x^2 + c_1 \)</big>,
-:<big>\( y = x^3 + c_1 x + c_2 </math>.
+:<big>\( y = x^3 + c_1 x + c_2 \)</big>.
-Hodnotu integračních konstant ''c''<sub>1</sub> a ''c''<sub>2</sub> vypočteme z okrajových podmínek <big>\( y(0) = 0 </math> a <big>\( y(1) = 1 </math> a získáme tak hledanou funkci <big>\( y(x) </math>.
+Hodnotu integračních konstant ''c''<sub>1</sub> a ''c''<sub>2</sub> vypočteme z okrajových podmínek <big>\( y(0) = 0 \)</big> a <big>\( y(1) = 1 \)</big> a získáme tak hledanou funkci <big>\( y(x) \)</big>.
-:<big>\( c_1 = 0 </math>
+:<big>\( c_1 = 0 \)</big>
-:<big>\( c_2 = 0 </math>
+:<big>\( c_2 = 0 \)</big>
-:<big>\( y(x) = x^3 </math>
+:<big>\( y(x) = x^3 \)</big>
 == Související články ==