Rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Uvažujme dvě funkce \(f(x), g(x)\), které jsou definovány na nějaké množině \(D\), pak nalezení všech \(x \in D\), která splňují rovnost

\(f(x) = g(x)\)

se nazývá rovnicí o jedné neznámé \(x\). Funkce \(f(x)\) se nazývá levá strana rovnice a \(g(x)\) se nazývá pravá strana rovnice.

Kořeny rovnice

Každé číslo \(x_0 \in D\), které vyhovuje vztahu \(f(x_0) = g(x_0)\), se nazývá kořen rovnice. Množinu všech kořenů dané rovnice označujeme jako řešení rovnice. Má-li rovnice alespoň jeden kořen v \(D\), nazývá se řešitelná v \(D\), pokud žádný kořen v \(D\) nemá, říkáme, že rovnice je v \(D\) neřešitelná. Pokud je rovnice \(f(x) = g(x)\) splněna pro všechna \(x \in D\), jde o identitu, což značíme

\(f(x) \equiv g(x)\)

Triviální řešení

Řešení, které je identicky rovno nule, se označuje jako triviální. Pokud řešení rovnice není identicky rovno nule, hovoří se o netriviálním řešení. V mnoha případech přímo součástí zadání problému požadavek na nalezení pouze netriviálního řešení. Např. triviálním řešením diferenciální rovnice

\(y^\prime = y\)

je

\(y = 0\),

což je funkce identicky rovna nule. Netriviální řešení má tvar

\(y = \mathrm{e}^x\),

což je exponenciální funkce. Jiným příkladem je tzv. Velká Fermatova věta, která hledá netriviální řešení rovnice \(a^n + b^n = c^n\) pro \(n>2\). Triviálním řešením by v tomto případě bylo \(a = b = c = 0\), což platí pro libovolné \(n\). Podobně je triviálním řešením \(a = 1, b = 0, c = 1\). Takováto řešení jsou však obvykle nezajímavá.

Ekvivalentní rovnice

Jsou-li na dané množině definovány dvě rovnice \(f_1(x) = g_1(x), f_2(x) = g_2(x)\), pak je-li každý kořen první rovnice současně kořenem rovnice druhé a naopak, říkáme, že obě rovnice jsou ekvivalentní. Rovnici lze tzv. ekvivalentními úpravami převést na ekvivalentní rovnici. Mezi nejčastěji používané ekvivalentní úpravy patří:

• přičtení (nebo odečtení) stejného čísla k oběma stranám rovnice, tzn. \(f(x) + a = g(x) + a\) je ekvivalentní rovnicí s rovnicí \(f(x) = g(x)\)
• vynásobení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem, tzn. \(a f(x) = a g(x)\) je ekvivalentní rovnicí s rovnicí \(f(x) = g(x)\)

Rovnici \(f(x) = g(x)\) je možné pomocí ekvivalentních úprav převést na (ekvivalentní) tvar

\(F(x) = f(x) - g(x) = 0\)

Při řešení rovnice lze použít také jiné úpravy, např. logaritmování nebo umocnění obou stran rovnice apod. Tyto úpravy však nemusí být ekvivalentní a při jejich použití je vždy nutno provést zkoušku.

Zkouška

Po nalezení řešení rovnice provádíme zkoušku, neboť v mnoha případech nejsme schopni ověřit, zda použité úpravy byly opravdu ekvivalentní. Zkouška spočívá v dosazení získaných kořenů do původní rovnice. Pokud některý kořen nesplňuje zkoušku, nebyly pravděpodobně všechny provedené úpravy ekvivalentní, a nejedná se tedy o kořen původní rovnice.

Rovnice o více neznámých

Rovnice o \(n\) neznámých má tvar

\(F(x_1,x_2,...,x_n) = 0\)

Při jejím řešení postupujeme obdobně jako při řešení rovnice o jedné neznámě \(F(x) = 0\), přičemž řešením rovnice o \(n\) neznámých jsou n-tice \((x_1, x_2, ..., x_n)\).

Algebraické a nealgebraické rovnice

Rovnice lze rozdělit na algebraické rovnice (též označované jako polynomiální rovnice) a nealgebraické rovnice (též transcendentní rovnice). Jako algebraickou rovnici \(n\)-tého stupně o jedné neznámé označujeme rovnici ve tvaru

\(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 = 0\),

kde levou stranu rovnice tvoří polynom \(n\)-tého stupně s \(a_n \neq 0\), přičemž se předpokládá, že \(n \geq 1\). Pokud rovnici nelze vyjádřit ve tvaru algebraické rovnice, pak hovoříme o rovnici nealgebraické. Rovnice až do 4. stupně jsou obecně vždy řešitelné analyticky, v algebře se dokazuje, že obecný vzorec řešící jakoukoli rovnici 5. a vyšších stupňů neexistuje a řešení je nutné hledat numericky. Mezi nejjednodušší algebraické rovnice patří lineární rovnice \((n = 1)\), kvadratická rovnice \((n = 2)\), kubická rovnice \((n = 3)\) a kvartická rovnice \((n = 4)\). Také pro některé zvláštní případy polynomů dostáváme jednoduché rovnice, jde např. o binomické, trinomické nebo reciproké rovnice. Při práci s algebraickými rovnicemi má velký význam tzv. základní věta algebry. Podle této věty má každý polynom s komplexními koeficienty stupně \(n \geq 1\) alespoň jeden komplexní kořen. Každá algebraická rovnice má tedy řešení v oboru komplexních čísel. Řešení algebraických rovnic usnadňuje znalost některých vlastností polynomů. Mezi nejjednodušší případy nealgebraických rovnic patří např. exponenciální rovnice, logaritmická rovnice nebo goniometrická rovnice.

Homogenní rovnice

Algebraickou rovnici o několika neznámých označujeme jako homogenní, pokud mají všechny její členy stejný stupeň. Např. \(3 x^2 y + 3 x^3 + 2 y^3 - 5 x y^2 = 0\) je homogenní rovnice třetího stupně. Homogenní rovnici lze vyjádřit ve tvaru \(f(x)=0\), kde \(f(x)\) je homogenní funkce.

Další druhy rovnic

Rovnice obsahující derivace označujeme jako diferenciální. Rovnice obsahující integrály označujeme jako integrální. Rovnice obsahující diference proměnných označujeme jako diferenční.

Související články

• Algebra
• Nerovnice
• Soustava rovnic