Limitní ordinál

Z Multimediaexpo.cz

Limitní ordinál je ordinální číslo, které nemá předchůdce a není prázdné.

Definice

Ordinální číslo \( \alpha \,\! \) je limitní, pokud
\( \alpha \neq 0 \land (\forall \beta \in On)( \beta \cup \{ \beta \} \neq \alpha ) \)
On zde označuje třídu všech ordinálních čísel.

Příklady

Množina \( \omega \,\!\) všech přirozených čísel je limitní - každý menší ordinál je konečný a nemůže být předchůdcem \( \omega \,\!\) ve smyslu výše uvedené definice.

Podobně množina \( \omega + \omega = \{0,1,2,\ldots,\omega,\omega + 1, \omega + 2,\ldots \} \,\!\) je limitní.

Naproti tomu ordinály \( 0,1,7,13,\omega + 1, \omega.\omega + \omega + 15 \,\!\) nejsou limitní. 0 není limitní z definice a ostatní mají předchůdce \( 0,6,12,\omega, \omega.\omega + \omega + 14 \,\!\). Takovým ordinálům říkáme izolované.

Použití

Rozdělení ordinálních čísel na limitní a izolovaná se často používá v důkazech transfinitní indukcí a v konstrukcích transfinitní rekurzí, kde je prováděn zvláštní krok (z předchůdce na následníka) pro izolovaný ordinál a zvláštní krok (z množiny všech menších ordinálů na jejich supremum) pro limitní ordinál.

Limitní ordinály mají některé zajímavé vlastnosti, které nemají izolované ordinály:

Množina všech vlastních podmnožin limitního ordinálu nemá největší prvek, ale má supremum - je to tedy tak trochu obdoba shora otevřeného intervalu v reálných číslech.
Pouze limitní ordinál může být kardinálním číslem.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii