Foreground plně podporuje – RWD, HTML 5.0, Super Galerii a YouTube 2.0 !
Otočení
Z Multimediaexpo.cz
V geometrii představuje otočení neboli rotace v eukleidovské rovině geometrické zobrazení, které je charakterizováno tím, že spojnice všech bodů s pevně zvoleným bodem, tzn. středem otočení,
se změní o stejný úhel a vzdálenost bodů od středu otáčení zůstává nezměněna.
Otočení v rovině kolem středu \(S\) o (orientovaný) úhel \(\alpha\) je tedy takové shodné zobrazení, při kterém je obrazem bodu \(A\neq S\) bod \(A^\prime\), pro který platí \(|SA| = |SA^\prime|\) a velikost úhlu \(\angle ASA^\prime\) je \(\alpha\).
Obrazem středu otočení \(S\) je opět bod \(S\).
Podobně se dá definovat rotace v třírozměrném prostoru jako otočení kolem jisté osy o pevný úhel. Tvar a velikost jednotlivých geometrických útvarů se při otočení nemění. Při otočení se také nemění dimenze otáčeného geometrického útvaru.
Otočení se řadí mezi shodná zobrazení.
Matice rotace
Rotace v dvourozměrné Eukleidově rovině kolem počátku souřadnic o úhel \(\alpha\) je dána vztahy
- \(x^\prime = x \cos \alpha - y \sin \alpha\)
- \(y^\prime = x \sin \alpha + y \cos \alpha\).
Čárkované souřadnice \(x', y'\) jsou souřadnice otočeného bodu, který měl před otočením souřadnice \(x, y\). Podobně rotace v třírozměrném Eukleidově prostoru o úhel \(\alpha\) kolem osy \(z\) je dáno vztahem
- \(x^\prime = x \cos \alpha - y \sin \alpha\)
- \(y^\prime = x \sin \alpha + y \cos \alpha\)
- \(z^\prime = z\)
Obecná rotace v prostoru se dá zapsat ve vektorovém tvaru \(\mathbf{x'}=A\mathbf{x}\) kde \(A\) je ortogonální matice.
Matice rotace kolem osy \(\mathbf{n}=(n_1, n_2,n_3)^T\), kde \(n_1^2+n_2^2+n_3^2=1\), o úhel \(\alpha\) je
- \(\begin{array}{rl}A &= \begin{pmatrix} \cos \alpha +n_1^2 (1-\cos \alpha)&n_1 n_2(1-\cos \alpha) -n_3\sin \alpha &n_1 n_3(1-\cos \alpha) +n_2\sin \alpha \\ n_1 n_2(1-\cos \alpha) +n_3\sin \alpha & \cos \alpha +n_2^2 (1-\cos \alpha) & n_2 n_3(1-\cos \alpha) -n_1\sin \alpha \\ n_1 n_3(1-\cos \alpha) -n_2 \sin \alpha & n_2 n_3(1-\cos \alpha) +n_1\sin \alpha & \cos \alpha +n_3^2 (1-\cos \alpha)\end{pmatrix}\\\;&\;\\ &=(1-\cos\alpha)\mathbf{n}\mathbf{n}^T+\cos\alpha\,I+\sin \alpha\begin{pmatrix} 0&-n_3&n_2\\n_3&0&-n_1\\-n_2&n_1&0\end{pmatrix}, \end{array}\)
kde \(I\) jednotkovou matici řádu tři. Množina všech takových matic tvoří speciální ortogonální grupu \(SO(3)\).
Rotace souřadnic
Někdy se předpokládá, že se objekty v prostoru nezměnily, ale otočil se "pozorovatel", což odpovídá změně souřadnic. Změna souřadnic, která je dána stejným vzorcem jako rotace v prostoru, se nazývá rotace souřadnic, anebo ortogonální transformace souřadnic. Pokud \(x_1,\ldots, x_n\) jsou staré souřadnice a \(x_1',\ldots, x_n'\) nové souřadnice nějakého bodu nebo vektoru které vznikly rotací, pak platí
- \(\sum x_i^2=\sum (x_i')^2.\)
Rotace souřadnic o úhel \(\varphi\) kolem nějaké osy je dáno stejným vzorcem jako geometrická rotace prostoru kolem stejné osy o opačný úhel.
Související články
Externí odkazy
|
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |