Seznam integrálů inverzních trigonometrických funkcí

Z Multimediaexpo.cz

Toto je seznam integrálů (primitivních funkcí) pro integrandy obsahující inverzní trigonometrické funkce.

Arkussinus

\(\int \arcsin \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = x \arcsin \frac{x}{c} + \sqrt{c^2 - x^2}\)

\(\int x \arcsin \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{c^2}{4} \right) \arcsin \frac{x}{c} + \frac{x}{4} \sqrt{c^2 - x^2}\)

\(\int x^2 \arcsin \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \frac{x^3}{3} \arcsin \frac{x}{c} + \frac{x^2 + 2c^2}{9} \sqrt{c^2 - x^2}\)

\(\int x^n \arcsin x \ \mathrm{d}x = \frac{1}{n + 1} \left( x^{n + 1} \arcsin x + \frac{x^n \sqrt{1 - x^2} - n x^{n - 1} \arcsin x}{n - 1} + n \int x^{n - 2} \arcsin x \ \mathrm{d}x \right)\)

Arkuskosinus

\(\int \arccos \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = x \arccos \frac{x}{c} - \sqrt{c^2 - x^2}\)

\(\int x \arccos \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{c^2}{4} \right) \arccos \frac{x}{c} - \frac{x}{4} \sqrt{c^2 - x^2}\)

\(\int x^2 \arccos \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \frac{x^3}{3} \arccos \frac{x}{c} - \frac{x^2 + 2c^2}{9} \sqrt{c^2 - x^2}\)

Arkustangens

\(\int \arctan \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = x \arctan \frac{x}{c} - \frac{c}{2} \ln(c^2 + x^2)\)

\(\int x \arctan \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \frac{ (c^2 + x^2) \arctan \frac{x}{c} - c x}{2}\)

\(\int x^2 \arctan \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \frac{x^3}{3} \arctan \frac{x}{c} - \frac{c x^2}{6} + \frac{c^3}{6} \ln(c^2 + x^2)\)

\(\int x^n \arctan \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} \arctan \frac{x}{c} - \frac{c}{n + 1} \int \frac{x^{n + 1}}{c^2 + x^2} \ \mathrm{d}x, \quad n \neq 1\)

Arkussekans

\(\int \operatorname {arcsec} \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = x \operatorname {arcsec} \frac{x}{c} + \frac{x}{c |x|} \ln \left| x \pm \sqrt{x^2 - 1} \right|\)

\(\int x \operatorname {arcsec} x \ \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \left( x^2 \operatorname {arcsec} x - \sqrt{x^2 - 1} \right)\)

\(\int x^n \operatorname {arcsec} x \ \mathrm{d}x = \frac{1}{n + 1} \left( x^{n + 1} \operatorname {arcsec} x - \frac{1}{n} \left[ x^{n - 1} \sqrt{x^2 - 1} + (1 - n) \left( x^{n - 1} \operatorname {arcsec} x + (1 - n) \int x^{n - 2} \operatorname {arcsec} x \ \mathrm{d}x \right) \right] \right)\)

Arkuskotangens

\(\int \operatorname {arccot} \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = x \operatorname {arccot} \frac{x}{c} + \frac{c}{2} \ln(c^2 + x^2)\)

\(\int x \operatorname {arccot} \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \frac{c^2 + x^2}{2} \operatorname {arccot} \frac{x}{c} + \frac{c x}{2}\)

\(\int x^2 \operatorname {arccot} \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \frac{x^3}{3} \operatorname {arccot} \frac{x}{c} + \frac{c x^2}{6} - \frac{c^3}{6} \ln(c^2 + x^2)\)

\(\int x^n \operatorname {arccot} \frac{x}{c} \ \mathrm{d}x = \frac{x^{n + 1}}{n+1} \operatorname {arccot} \frac{x}{c} + \frac{c}{n + 1} \int \frac{x^{n + 1}}{c^2 + x^2} \ \mathrm{d}x, \quad n \neq 1\)

Externí odkazy

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii