Weierstrassova funkce

Z Multimediaexpo.cz

Weierstrassova funkce, pojmenovaná po německém matematikovi Karlu Weierstrassovi (1815–1897), je matematická funkce, která je ve všech bodech spojitá, ale v žádném bodě nemá derivaci.

Funkce se chová jako fraktál, neboť zvětšené části grafu a původní graf jsou podobné.^[1]

Definice

Weierstrassova funkce bývá uváděna v různých tvarech s různými konstantami.

• Podle původní publikace (http://historical.library.cornell.edu/…) a http://planetmath.org/…:

\(f(x) = \sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)\)

kde \(0<a<1\), \(b\) je kladné liché číslo a konstanty splňují následující podmínku.

\( ab > 1+\frac{3}{2} \pi\)

Později bylo dokázáno, že poslední uvedenou podmínku lze nahradit podmínkou \(ab \ge 1\).

• Podle http://mathworld.wolfram.com/…:

\(f_a(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{ \sin(\pi k^a x) } {\pi k^a} \,\)

přičemž údajně podle původní publikace \(a = 2\). Tato funkce má však v určitých izolovaných bodech konečné derivace. Podle jiných zdrojů^[2] je tato funkce nazývána Riemannova, neboť podle Weierstrasse ji Bernhard Riemann uváděl na svých přednáškách okolo roku 1861.

• Lze nalézt i jiné tvary nebo konkrétní konstanty.^[1][3]

Související články

• Rozumná funkce
• Riemannova funkce

Reference

1. ↑ ^{1,0 1,1} Příklad Weierstrassovy funkce, ukázka soběpodobnosti: http://www.math.washington.edu/…
2. ↑ http://epubl.ltu.se/1402-1617/2003/320/index-en.html
3. ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/ira/cont/fp_weier.html

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii