The English encyclopedia Allmultimedia.org will be launched in two phases.
The final launch of the Allmultimedia.org will take place on February 27, 2026
(shortly after the 2026 Winter Olympics).

Okruh (algebra)

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Okruh (algebra)|700}}
+
'''Okruh''' je v [[matematika|matematice]] [[algebraická struktura]] s dvěma [[binární operace|binárními operacemi]] běžně nazývanými [[sčítání]] a [[násobení]]. Přitom sčítání splňuje axiomy [[Abelova grupa|Abelových grup]] a násobení axiomy [[monoid|monoidu]]. Typickým příkladem okruhu je [[množina]] [[celá čísla|celých čísel]] s běžně známými operacemi sčítání a násobení.
-
 
+
 
 +
== Definice okruhu ==
 +
 
 +
[[Struktura (logika)|Strukturu]] <big>\(R\)</big> s nosičem ''R'' a dvěma binárními operacemi '''+''' ([[sčítání]]) a '''·''' ([[násobení]]) na ''R'' nazýváme '''okruh''', platí-li pro všechny prvky ''R''  ''x'', ''y'', ''z'' následující [[axiom]]y:
 +
 
 +
# [[Uzavřená množina vůči operaci|Uzavřenost]] obou operací: ''x'' + ''y'' i ''x'' '''·''' ''y'' jsou prvky ''R''.
 +
# [[Asociativita]] sčítání i násobení: (''x'' + ''y'') + ''z'' = ''x'' + (''y'' + ''z''), (''x'' '''·''' ''y'') '''·''' ''z'' = ''x'' '''·''' (''y'' '''·''' ''z'').
 +
# Existence [[neutrální prvek|nulového prvku]] ''0''.
 +
# Existence [[inverzní prvek|opačného prvku]]: pro každé ''x'' z ''R'' existuje  ''y'' z ''R'' tak, že ''x'' + ''y'' = ''0'' = ''y'' + ''x'', značíme ''y'' = −''x''.
 +
# [[Komutativita]] sčítání: ''x'' + ''y'' = ''y'' + ''x''.
 +
# (Oboustranná) [[distributivita]] násobení ke sčítání: ''x'' '''·''' ( ''y'' + ''z'') = (''x'' '''·''' ''y'') + (''x'' '''·''' ''z''), ( ''y'' + ''z'') '''·''' ''x'' = ( ''y'' '''·''' ''x'') + (''z'' '''·''' ''x'').
 +
 
 +
== Vlastnosti ==
 +
 
 +
Množina ''R'' s operací +, tj. (''R'', +), je tedy [[Abelova grupa]].
 +
Množina ''R'' s operací '''·''', tj. (''R'', '''·'''), je tedy [[pologrupa]].
 +
 
 +
Pokud navíc existuje jednotkový prvek (neutrální při násobení), jedná se o unitární okruh (nebo také okruh s jednotkovým prvkem).
 +
Pokud navíc neexistují tzv. [[dělitel nuly|dělitelé nuly]], jedná se o tzv. [[obor]].
 +
Pokud je obor navíc komutativní, jedná se o [[obor integrity]].
 +
 
 +
Pokud existují v unitárním okruhu [[Inverzní prvek|převrácené prvky]], nazýváme takový okruh [[Těleso (algebra)|těleso]]. Jeho nenulové prvky tvoří tedy s operací násobení [[grupa|grupu]].
 +
 
 +
== Příklady okruhů ==
 +
* Obor [[Celé číslo|celých čísel]] <big>\(\scriptstyle \mathbb{Z}\)</big>
 +
* [[Lineární zobrazení]] na <big>\(\scriptstyle \mathbb{R}^n\)</big> s operací [[sčítání]] a [[Skládání zobrazení|skládání]] tvoří okruh. Obecná [[Zobrazení (matematika)|zobrazení]] však okruh netvoří, neboť není splněn předpoklad distributivity skládání.
 +
* [[Triviální okruh]] ''R'' = {0}. Jedná se o jediný okruh takový, že 0 = 1.
 +
 
 +
== Podokruh ==
 +
''S'' je neprázdná podmnožina okruhu (''R'', +, '''·''') je '''podokruh''' (S, +, '''·''') okruhu ''R'', právě když pro všechna ''a, b'' z ''S'' do něj patří ''a-b'' i ''a·b''.
 +
 
 +
== Související články ==
 +
* [[Grupa]]
 +
* [[Těleso (algebra)|Těleso]]
 +
* [[Obor integrity]]
 +
 
 +
== Externí odkazy ==
 +
* [http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/mzahrad/node21.html Skripta Pěstujeme lineární algebru]
 +
* [http://mathworld.wolfram.com/Ring.html Okruh na MathWorld (anglicky)]
 +
* [http://mathworld.wolfram.com/Subring.html Podokruh na MathWorld (anglicky)]
 +
 
 +
 
 +
{{Článek z Wikipedie}}  
[[Kategorie:Algebraické struktury]]
[[Kategorie:Algebraické struktury]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Okruh je v matematice algebraická struktura s dvěma binárními operacemi běžně nazývanými sčítání a násobení. Přitom sčítání splňuje axiomy Abelových grup a násobení axiomy monoidu. Typickým příkladem okruhu je množina celých čísel s běžně známými operacemi sčítání a násobení.

Obsah

Definice okruhu

Strukturu \(R\) s nosičem R a dvěma binárními operacemi + (sčítání) a · (násobení) na R nazýváme okruh, platí-li pro všechny prvky R x, y, z následující axiomy:

  1. Uzavřenost obou operací: x + y i x · y jsou prvky R.
  2. Asociativita sčítání i násobení: (x + y) + z = x + (y + z), (x · y) · z = x · (y · z).
  3. Existence nulového prvku 0.
  4. Existence opačného prvku: pro každé x z R existuje y z R tak, že x + y = 0 = y + x, značíme y = −x.
  5. Komutativita sčítání: x + y = y + x.
  6. (Oboustranná) distributivita násobení ke sčítání: x · ( y + z) = (x · y) + (x · z), ( y + z) · x = ( y · x) + (z · x).

Vlastnosti

Množina R s operací +, tj. (R, +), je tedy Abelova grupa. Množina R s operací ·, tj. (R, ·), je tedy pologrupa.

Pokud navíc existuje jednotkový prvek (neutrální při násobení), jedná se o unitární okruh (nebo také okruh s jednotkovým prvkem). Pokud navíc neexistují tzv. dělitelé nuly, jedná se o tzv. obor. Pokud je obor navíc komutativní, jedná se o obor integrity.

Pokud existují v unitárním okruhu převrácené prvky, nazýváme takový okruh těleso. Jeho nenulové prvky tvoří tedy s operací násobení grupu.

Příklady okruhů

Podokruh

S je neprázdná podmnožina okruhu (R, +, ·) je podokruh (S, +, ·) okruhu R, právě když pro všechna a, b z S do něj patří a-b i a·b.

Související články

Externí odkazy


Citováno z „http://www.ww2000w.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Okruh_(algebra)“